Задание 3 (35 баллов). В треугольнике MNK проведена медиана NB. На отрезке NB отмечена точка A, которая делит отрезок в отношении 3 : 5, считая от вершины N. Найдите отношение площадей треугольников MNA и MNK.

Пусть точка B имеет координаты (x, y), тогда точка A имеет координаты (2x/5, 2y/5), а точка N имеет координаты (x/2, y/2).

Площадь треугольника MNA равна: S(MNA) = 0.5 * |x/2 * 2y/5 - 2x/5 * y/2| = 0.5 * |xy/5 - 2xy/10| = 0.5 * |3xy/10| = 3xy/20.

Площадь треугольника MNK равна: S(MNK) = 0.5 * |x * y| = xy/2.

Отношение площадей треугольников MNA и MNK равно: S(MNA) / S(MNK) = (3xy/20) / (xy/2) = (3/20) / (1/2) = 3/10.

Ответ: отношение площадей треугольников MNA и MNK равно 3/10.