Задание 1 (30 баллов). Задан треугольник ABC, в котором BC = 30. Биссектрисы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника ABC, если AO : OA1 = 20 : 1.

Обозначим длины отрезков AB1, AC1 и BC1 через x, y и z соответственно.

Так как точка O - точка пересечения биссектрис, то она делит стороны треугольника пропорционально. То есть: AO/AO1 = BC1/B1C = AC1/C1B = 20/1

Так как AO/AO1 = 20/1, то AO = 20k, AO1 = k Так как BC1/B1C = 20/1, то BC1 = 20z, B1C = z Так как AC1/C1B = 20/1, то AC1 = 20y, C1B = y

Так как точка O - точка пересечения биссектрис, то она делит стороны треугольника пропорционально. То есть: AO/AO1 = BC1/B1C = AC1/C1B = 20/1

Так как AO/AO1 = 20/1, то AO = 20k, AO1 = k Так как BC1/B1C = 20/1, то BC1 = 20z, B1C = z Так как AC1/C1B = 20/1, то AC1 = 20y, C1B = y

Из условия задачи известно, что BC = 30, то есть z + y = 30 Также из условия задачи известно, что AO + AO1 = 20k + k = 30, то есть k = 1

Теперь можем найти длины сторон треугольника ABC: AB = AB1 + B1C = x + z AC = AC1 + C1B = y + 20y = 21y BC = BC1 = 20z

Сумма периметров треугольника ABC равна: P = AB + AC + BC = x + z + y + 21y + 20z = 30 + 21y + 20z

Так как z + y = 30, то 21y + 20z = 21(30 - z) + 20z = 630 - z

Итак, периметр треугольника ABC равен: P = 30 + 630 - z = 660 - z

Осталось найти длину отрезка z. Для этого воспользуемся теоремой Синусов в треугольнике ABC: z/sin(A) = 30/sin(C) z/sin(A) = 30/sin(B) sin(A) = sin(B), так как AO - биссектриса

Поэтому z = 30sin(A)/sin(C) = 30sin(B)/sin(C)

Так как AO = 20, то sin(B) = 20/AB = 20/(x + z) Так как AO = 20, то sin(C) = 20/AC = 20/(y + 20y)

Таким образом, z = 30*(20/(x + z))/(20/(y + 20y)) = 30*(y + 20y)/(x + z) = 30*(21y)/(x + z) = 30*21y/z

Подставляем это значение в формулу для периметра: P = 660 - 3021y/z = 660 - 3021 = 660 - 630 = 30

Ответ: периметр треугольника ABC равен 30.