Уравнение плоскости А1А2А3: Для нахождения уравнения плоскости проходящей через точки А1(3,-1,2), А2(-1,0,1) и А3(1,7,3), используем формулу уравнения плоскости через три точки: (x - x1)(y2 - y1)(z3 - z1) + (y - y1)(z2 - z1)(x3 - x1) + (z - z1)(x2 - x1)(y3 - y1) - (z - z1)(y2 - y1)(x3 - x1) - (y - y1)(x2 - x1)(z3 - z1) - (x - x1)(z2 - z1)(y3 - y1) = 0 Подставляем координаты точек: (x - 3)(0 - (-1))(3 - 2) + (y + 1)(1 - (-1))(1 - 3) + (z - 2)(-1 - 3)(7 + 1) - (z - 2)(0 - (-1))(1 - 3) - (y + 1)(-1 - (-1))(7 - 2) - (x - 3)(1 - 0)(7 - 1) = 0 Упрощаем и получаем уравнение плоскости: 5x - 3y + 5z - 8 = 0

Уравнение прямой, проходящей через точку А4(8,5,8) и перпендикулярной плоскости А1А2А3: Так как прямая проходит через точку А4 и перпендикулярна плоскости, то вектор нормали к плоскости будет направляющим вектором прямой. Найдем вектор нормали к плоскости А1А2А3: n = (5, -3, 5) Уравнение прямой: (x - 8)/5 = (y - 5)/(-3) = (z - 8)/5

Расстояние от точки А4 до плоскости А1А2А3: Для нахождения расстояния от точки до плоскости используем формулу: d = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2) Подставляем координаты точки А4 и коэффициенты уравнения плоскости: d = |58 - 35 + 5*8 - 8| / √(5^2 + (-3)^2 + 5^2) d = |40 - 15 + 40 - 8| / √(25 + 9 + 25) d = |57| / √59 d = 57 / √59

Синус угла между прямой А1А4 и плоскостью А1А2А3: Сначала найдем угол между прямой и нормалью к плоскости: sin(θ) = |n * l| / (|n| * |l|) где n - вектор нормали к плоскости, l - направляющий вектор прямой |n| = √(5^2 + (-3)^2 + 5^2) = √59 |l| = √(5^2 + (-3)^2 + 5^2) = √59 |n * l| = |55 + (-3)(-3) + 5*5| = 59 sin(θ) = 59 / (59 * 59) sin(θ) = 1 / √59

Косинус угла между координатной плоскостью OXY и плоскостью А1А2А3: Найдем угол между нормалью к плоскости и вектором (0,0,1) (нормаль к плоскости OXY): cos(α) = (05 + 0(-3) + 1*5) / (√(5^2 + (-3)^2 + 5^2) * √(0^2 + 0^2 + 1^2)) cos(α) = 5 / √59 * 1 cos(α) = 5 / √59