4. Доказать, что векторы а = (1, -3, 1), b = (-2, -4, 3), с = (0, -2, 3) образуют базис, и найти координаты вектора d = (-8, -10, 13) в этом базисе.

Для доказательства того, что векторы a, b, c образуют базис, нужно показать, что они линейно независимы и что любой вектор из пространства может быть представлен в виде их линейной комбинации.

1. Проверим линейную независимость векторов a, b, c. Для этого составим систему уравнений:

λ1 * a + λ2 * b + λ3 * c = 0, где λ1, λ2, λ3 - коэффициенты линейной комбинации.

Подставляем значения векторов: λ1 * (1, -3, 1) + λ2 * (-2, -4, 3) + λ3 * (0, -2, 3) = (0, 0, 0).

Получаем систему уравнений: λ1 - 2λ2 = 0, -3λ1 - 4λ2 - 2λ3 = 0, λ1 + 3λ2 + 3λ3 = 0.

Решая данную систему уравнений, получаем, что λ1 = -2, λ2 = -1, λ3 = 1. Таким образом, векторы a, b, c линейно независимы.

2. Теперь найдем координаты вектора d = (-8, -10, 13) в базисе a, b, c. Для этого решим систему уравнений:

-8 = -2λ1 - 2λ2, -10 = -3λ1 - 4λ2 - 2λ3, 13 = λ1 + 3λ2 + 3λ3.

Подставляем значения λ1 = -2, λ2 = -1, λ3 = 1: -8 = 4 - 2 = 2, -10 = 6 - 4 - 2 = 0, 13 = -2 + 3 + 3 = 4.

Таким образом, координаты вектора d = (-8, -10, 13) в базисе a, b, c равны (2, 0, 4).

Итак, векторы a = (1, -3, 1), b = (-2, -4, 3), c = (0, -2, 3) образуют базис, и координаты вектора d = (-8, -10, 13) в этом базисе равны (2, 0, 4).