Задан треугольник ABC, в котором BC = 30. Биссектрисы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника ABC, если AO : OA1 = 20 : 1.

Пусть AC = x, AB = y.

Так как AO : OA1 = 20 : 1, то AO = 20k, OA1 = k, где k - некоторое число.

Так как точка O - точка пересечения биссектрис треугольника ABC, то AO является биссектрисой угла BAC. Значит, AO делит сторону BC в отношении AC : AB, то есть 20k : k = x : y.

Отсюда получаем, что x = 20y.

Так как BC = 30, то x + y = 30, откуда 20y + y = 30, y = 30 / 21 = 10 / 7, x = 20 * 10 / 7 = 200 / 7.

Периметр треугольника ABC равен x + y + 30 = 200 / 7 + 10 / 7 + 30 = 240 / 7 + 10 / 7 = 250 / 7.

Ответ: периметр треугольника ABC равен 250 / 7.