Всем пациентам с подозрением на одну из тропических лихорадок делают анализ крови. Если анализ выявляет возбудителя лихорадки, то результат анализа называется положительным. У больных лихорадкой пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если лихорадки нет, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что у пациентов, поступающих с подозрением на лихорадку, анализ оказывается положительным в 19,6% случаев. Найдите вероятность того, что поступивший с подозрением пациент действительно болен этой лихорадкой

Для решения данной задачи воспользуемся формулой условной вероятности:

P(A|B) = P(A и B) / P(B)

Где: P(A|B) - вероятность события A при условии события B P(A и B) - вероятность наступления событий A и B одновременно P(B) - вероятность наступления события B

Обозначим: A - пациент болен лихорадкой B - анализ пациента положителен

Из условия задачи нам известно, что: P(A|B) = 0,9 - вероятность того, что пациент действительно болен лихорадкой при условии положительного анализа P(A) = 0,196 - вероятность того, что пациент действительно болен лихорадкой P(B|A) = 0,9 - вероятность положительного анализа при наличии лихорадки P(B|A') = 0,02 - вероятность ложноположительного анализа при отсутствии лихорадки

Тогда: P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A') = 0,9 * 0,196 + 0,02 * (1 - 0,196) = 0,1764 + 0,0176 = 0,194

Теперь можем найти вероятность того, что пациент действительно болен лихорадкой при положительном анализе: P(A|B) = P(A и B) / P(B) = P(B|A) * P(A) / P(B) = 0,9 * 0,196 / 0,194 ≈ 0,914

Итак, вероятность того, что поступивший с подозрением пациент действительно болен этой лихорадкой, составляет примерно 91,4%.