В треугольнике АВС проведена высота АК. Η-точка пересечения высот треугольника. Даны косинусы двух его углов: cos ∠CAB = 3/5, COS ∠ABC 20/29. Для вашего удобства мы посчитали косинус третьего угла cos∠BCA = 24/145. Найдите AH/HK.

Для начала найдем синусы углов треугольника ABC, используя известные косинусы:

sin^2(∠CAB) = 1 - cos^2(∠CAB) = 1 - (3/5)^2 = 1 - 9/25 = 16/25 sin(∠CAB) = 4/5

sin^2(∠ABC) = 1 - cos^2(∠ABC) = 1 - (20/29)^2 = 1 - 400/841 = 441/841 sin(∠ABC) = 21/29

sin^2(∠BCA) = 1 - cos^2(∠BCA) = 1 - (24/145)^2 = 1 - 576/21025 = 20449/21025 sin(∠BCA) = sqrt(20449/21025) = 143/145

Теперь найдем площадь треугольника ABC через синус угла C:

S = 1/2 * AB * AC * sin(∠CAB) = 1/2 * AB * AC * 4/5

С другой стороны, площадь треугольника ABC можно выразить через стороны и высоту AH:

S = 1/2 * AB * HK = 1/2 * AH * BC

Сравнивая два выражения для площади, получаем:

AB * AC * 4/5 = AH * BC

AH/HK = AC * 4 / (BC * 5) = AC * 4 / (AB * sin(∠ABC) * 5) = AC * 4 / (AB * 21/29 * 5) = 29 * AC / (AB * 21)

Теперь осталось выразить отношение сторон треугольника через синусы и косинусы углов:

AB/AC = sin(∠CAB) / sin(∠ABC) = (4/5) / (21/29) = 116/105 AB/AC = 116/105

Таким образом, AH/HK = 29 * AC / (AB * 21) = 29 * AC / (AC * 116/105 * 21) = 29 * 105 / (116 * 21) = 435 / 452

Итак, AH/HK = 435 / 452.