В треугольнике ABC проведена высота AK. H - точка пересечения высот треугольника. Даны косинусы двух его углов: cos CAB = 4/5 , cos ABC = 7/25. Найдите AH/HK

Для начала найдем синус углов CAB и ABC, используя тождество sin^2x + cos^2x = 1:

sin^2CAB = 1 - cos^2CAB = 1 - (4/5)^2 = 1 - 16/25 = 9/25 sinCAB = sqrt(9/25) = 3/5

sin^2ABC = 1 - cos^2ABC = 1 - (7/25)^2 = 1 - 49/625 = 576/625 sinABC = sqrt(576/625) = 24/25

Теперь найдем площадь треугольника ABC через синус угла C:

S = 1/2 * AB * AC * sinCAB = 1/2 * AB * AC * (3/5)

Также площадь треугольника ABC можно выразить через высоту AK:

S = 1/2 * AB * HK

Сравнивая два выражения для площади, получаем:

1/2 * AB * AC * (3/5) = 1/2 * AB * HK

AC * (3/5) = HK

Теперь найдем AH:

AH = AC - HK = AC - AC * (3/5) = AC * (2/5)

Таким образом, AH/HK = 2/3.