В параллелограмме АBCD проведены биссектрисы углов A и B , пересекающиеся в точке O. Биссектриса BO пересекает сторону AD в точке F, а прямую CD -в точке N. Найдите площадь треугольника ACNE, если AO =5, BO =7, а отношение сторон параллелограмма AB:BC=1:3

Обозначим стороны параллелограмма через a и 3a (так как отношение сторон AB:BC=1:3). Тогда площадь параллелограмма равна S = a * 3a = 3a^2.

Так как AO - биссектриса угла A, то треугольник AOF равнобедренный, и AF = OF = a. Также, так как BO - биссектриса угла B, то треугольник BON равнобедренный, и BN = ON = 3a.

Из равнобедренных треугольников AOF и BON следует, что угол AOF = угол BON. Таким образом, треугольники AOF и BON подобны, и мы можем записать пропорцию:

AF / BN = AO / BO a / 3a = 5 / 7 7a = 15a a = 15 / 7

Теперь можем найти площадь треугольника ACNE. Так как треугольники ACN и AOF подобны с коэффициентом 3/7 (так как AC = 3a, AO = 5), то площадь треугольника ACNE равна:

S_ACNE = (AC / AO)^2 * S_AOF S_ACNE = (3a / 5)^2 * (1/2 * a * a) S_ACNE = (9/25) * (1/2 * (15/7) * (15/7)) S_ACNE = (9/25) * (1/2 * 225 / 49) S_ACNE = (9/25) * (225 / 98) S_ACNE = 2025 / 2450 S_ACNE = 405 / 490 S_ACNE = 81 / 98

Ответ: площадь треугольника ACNE равна 81 / 98.