В каждой клетке квадрата 40 на 40 ставят камень, ножницы или бумагу. Клетка с камнем бьёт клетку с ножницами, клетка с ножницами - клетку с бумагой, клетка с бумагой - клетку с камнем. Для каждой клетки считают, сколько соседних по стороне клеток она бьёт, и записывают это число. Какое наибольшее значение может принимать сумма всех записанных чисел?

Наибольшее значение суммы всех записанных чисел равно 1200.

Для достижения этого значения нужно распределить камни, ножницы и бумагу по всем клеткам квадрата следующим образом:

1. Разместить камни в каждой второй клетке (всего 400 камней).
2. Разместить ножницы в оставшихся клетках, которые не содержат камни (всего 400 ножниц).
3. Разместить бумагу в оставшихся клетках (всего 400 бумаг).

Таким образом, каждая клетка с камнем будет бить 200 соседних клеток с ножницами, каждая клетка с ножницами будет бить 200 соседних клеток с бумагой, и каждая клетка с бумагой будет бить 200 соседних клеток с камнем. Сумма всех записанных чисел будет равна 2004003 = 1200.