Сечение правильной шестиугольной пирамиды S A B C D E F образовано плоскостью, проходящей через вершину F основания A B C D E F и параллельной медиане CM боковой грани S C D и апофеме S N боковой грани S A F . Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду, если плоскость сечения наклонена к плоскости основания пирамиды под углом arccos 3 4 . Решение представить в виде несократимой дроби m n , где m и n - натуральные числа. В ответ записать сумму m + n .

Обозначим через O точку пересечения медианы C M и апофемы S N . Так как треугольник S C M является прямоугольным, то O будет серединой гипотенузы C M . Также заметим, что треугольник S A F является равнобедренным, поэтому O также является серединой стороны A F . Таким образом, O является серединой отрезка A F . Так как плоскость сечения параллельна медиане и апофеме, то она также будет параллельна стороне A F . Поэтому отношение объемов многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду, равно отношению объема пирамиды S A O F к объему пирамиды S O B F .

Так как точка O является серединой стороны A F , то O A

1 2 A F . Также треугольники S A O и S F O подобны, поэтому O A O S

1 2 F O S . Заметим, что O A

O F , поэтому O A O S

O F O S . Таким образом, треугольники O A S и O F S равнобедренные, и угол A S O равен углу F S O . Так как F S O

arccos 3 4 , то A S O

arccos 3 4 . Также угол A S O равен углу S A O , поэтому S A O

arccos 3 4 .

Теперь рассмотрим треугольники S A O и S B O . Они равны, так как у них равны гипотенузы A O и B O , равны углы S A O и S B O , и равны углы A S O и B S O . Таким образом, треугольники равны, и их площади относятся как квадраты гипотенуз, то есть S A O S : S B O S

( A O ) 2 : ( B O ) 2

( 1 2 A F ) 2 : ( 1 2 B F ) 2

A F 2 : B F 2

( A F ) 2 : ( A F + F B ) 2

( A F ) 2 : ( A F + 2 A F ) 2

( A F ) 2 : ( 3 A F ) 2

1 : 9 .

Таким образом, отношение объемов многогранников, на которые плоскость сечения разбивает пирамиду, равно 1 : 9 , и их объемы относятся как 9 : 1 . Следовательно, m

9 , n

1 , m + n

9 + 1

10 .

Итак, ответ: 10 .