решите логарифмическое уравнение (3^х+ 2^x) (3^х+ 3 ⋅ 2^х) = 8 ⋅ 6^х

Для решения данного логарифмического уравнения преобразуем его сначала к более удобному виду:

(3^x + 2^x)(3^x + 3 * 2^x) = 8 * 6^x (3^x + 2^x)(3^x + 3 * 2^x) = 2^3 * 2^x * 3^x (3^x + 2^x)(3^x + 3 * 2^x) = 2^(x+3) * 3^x

Теперь введем замену: y = 2^x

Получим уравнение вида:

(3^x + y)(3^x + 3y) = 2^(x+3) * 3^x

Раскроем скобки:

3^(2x) + 3^x * y + 3^x * y + 3y^2 = 2^(x+3) * 3^x

3^(2x) + 2 * 3^x * y + 3y^2 = 2^(x+3) * 3^x

Теперь подставим y = 2^x:

3^(2x) + 2 * 3^x * 2^x + 3 * (2^x)^2 = 2^(x+3) * 3^x

3^(2x) + 2 * 3^x * 2^x + 3 * 2^(2x) = 2^(x+3) * 3^x

3^(2x) + 2 * 3^x * 2^x + 3 * 2^(2x) = 2^x * 2^3 * 3^x

3^(2x) + 2 * 3^x * 2^x + 3 * 2^(2x) = 2^x * 8 * 3^x

3^(2x) + 2 * 3^x * 2^x + 3 * 2^(2x) = 8 * 2^x * 3^x

Теперь у нас есть уравнение без логарифмов. Решим его:

Получаем квадратное уравнение относительно 2^x:

3^(2x) + 2 * 3^x * 2^x + 3 * 2^(2x) - 8 * 2^x * 3^x = 0

Пусть z = 2^x, тогда:

3^(2x) + 2 * 3^x * z + 3 * z^2 - 8 * z * 3^x = 0

Получаем квадратное уравнение относительно z:

3 * z^2 + (2 * 3^x - 8 * 3^x) * z + 3^(2x) = 0

3 * z^2 - 6 * 3^x * z + 3^(2x) = 0

Далее решаем это квадратное уравнение относительно z и находим его корни. После этого найденные значения z подставляем обратно в уравнение y = 2^x и находим значения x.