Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причем AB=BC. Отрезки BD и CE пересекаются в точке G, лучи DB и EA пересекаются в точке F. Известно,что CG=1 DG:GB:BF=5:2:3 Найти длину отрезка FA

Для начала заметим, что так как ABCDE - вписанный пятиугольник, то угол ABC равен углу AED, угол BCD равен углу ADE, угол CDE равен углу ABD, угол DEA равен углу ACB, угол EAB равен углу EDC.

Так как AB=BC, то угол ABC равен углу BCA. Также угол ABC равен углу AED, поэтому угол BCA равен углу AED. Таким образом, треугольники ABC и AED подобны.

Пусть AB=BC=x, тогда AE=ED=2x. Пусть AC=y, тогда CD=DE=3y.

Так как треугольники ABC и AED подобны, то BD/DC=AB/AE=BC/ED=x/2x=1/2. Значит, BD=1/2*CD=y/2.

Теперь рассмотрим треугольники BGD и BGF. По условию DG:GB=5:2, значит BG=2/7y и DG=5/7y. Так как BD=1/2CD=3y/2, то BF=BD-DF=3y/2-DF=7/2y, откуда DF=7/2*y-3y/2=2y.

Теперь рассмотрим треугольники CEF и CEG. По условию CG=1, значит CE=2. Пусть EF=z. Так как треугольники CEF и CEG подобны, то EF/CE=CG/CE=1/2, откуда z=1.

Теперь рассмотрим треугольники AEF и AED. По условию AE=2x, DE=3y, EF=1, значит AF=AE-EF=2x-1, ED=3y, DF=2y, значит AF/ED=DF/EF=(2x-1)/3y=2y/1, откуда 2x-1=6y, 2x=6y+1, x=3y+1/2.

Таким образом, длина отрезка FA равна 2x-1=2*(3y+1/2)-1=6y+2-1=6y+1.