Натуральные числа x и y удовлетворяют равенству 2xy + x + 2y = 20. Найдите наибольшее значение x + y.

Для начала преобразуем данное уравнение:

2xy + x + 2y = 20 2xy + 2y + x = 20 y(2x + 2) + x = 20 y(2x + 2) = 20 - x y = (20 - x) / (2x + 2) y = (10 - 0.5x) / (x + 1)

Теперь заметим, что x + y = x + (10 - 0.5x) / (x + 1) = (x^2 + 10x - 0.5x^2) / (x + 1) = (0.5x^2 + 10x) / (x + 1) = 0.5x(x + 20) / (x + 1)

Для нахождения максимального значения x + y найдем производную этой функции и приравняем ее к нулю:

d/dx (0.5x(x + 20) / (x + 1)) = (0.5(x + 20) + 0.5x) / (x + 1)^2 = (x + 10) / (x + 1)^2

(x + 10) / (x + 1)^2 = 0 x + 10 = 0 x = -10

Таким образом, x = -10, y = (20 - (-10)) / (2*(-10) + 2) = 30 / (-18) = -1.67

Наибольшее значение x + y равно 30 - 1.67 = 28.33.