Найдите приближённо изменение функции z=y^2⋅e^2x−4+4y/x при изменении x от 2 до 1,98 и изменении y от 3 до 3,04 (используйте приближенное равенство Δz≈dz) ?

Для нахождения изменения функции z при изменении переменных x и y воспользуемся дифференциальным методом:

dz = (∂z/∂x)Δx + (∂z/∂y)Δy

где (∂z/∂x) и (∂z/∂y) - частные производные функции z по переменным x и y соответственно.

Для функции z = y^2 * e^(2x) - 4 + 4y/x имеем:

∂z/∂x = 2y^2 * e^(2x) + 4y/x^2 ∂z/∂y = 2ye^(2x) + 4/x

Теперь найдем изменение функции z при изменении переменных x и y:

Δx = 2 - 1.98 = 0.02 Δy = 3.04 - 3 = 0.04

Подставим значения в формулу:

dz = (23^2 * e^(22) + 43/2^2)0.02 + (23e^(2*2) + 4/2)*0.04 dz = (54 * e^4 + 6)*0.02 + (6 * e^4 + 2)*0.04 dz ≈ (108.34 + 6)*0.02 + (6.41 + 2)*0.04 dz ≈ 2.28 + 0.36 dz ≈ 2.64

Таким образом, при изменении переменных x от 2 до 1.98 и y от 3 до 3.04, функция z изменится приблизительно на 2.64.