Найдите порядок малости бесконечно малой функции α(x)=(x+10)^8⋅(sin (x+10))^5⋅(arctg(x+10))^7 относительно малой β(x)=x+10.

Для нахождения порядка малости функции α(x) относительно функции β(x) необходимо разложить функцию α(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x = 10 (так как β(x) = x + 10).

α(x) = (x + 10)^8 * sin(x + 10)^5 * arctg(x + 10)^7

Разложим каждый множитель в ряд Тейлора в окрестности x = 10:

1. (x + 10)^8 = x^8 + 8x^710 + 28x^610^2 + ... = x^8 + O(x^7)

2. sin(x + 10)^5 = sin(10)^5 + 5*cos(10)sin(10)^4x + O(x^2) = sin(10)^5 + O(x)

3. arctg(x + 10)^7 = arctg(10)^7 + 7/(1 + 10^2)*(x + 10) + O(x^2) = arctg(10)^7 + O(x)

Теперь умножим полученные разложения:

α(x) = (x^8 + O(x^7)) * (sin(10)^5 + O(x)) * (arctg(10)^7 + O(x)) α(x) = x^8 * sin(10)^5 * arctg(10)^7 + O(x^7)

Таким образом, порядок малости функции α(x) относительно функции β(x) = x + 10 равен 8.