На сторонах ВС и АВ остроугольного треугольника АВС выбраны точки М и N соответственно так, что ∠BAM = ∠MAC = ZNCB. Известно, что AC 12, AN = 4. Найдите значение выражения АМ² - МС².

Для начала обратим внимание на треугольники AMB и ANC. Учитывая, что ∠BAM = ∠MAC = ∠NCB, эти треугольники подобны по признаку угловой сходственности. Таким образом, мы можем записать пропорцию:

AM/AN = MB/NC

AM/4 = MB/(12-4)

AM/4 = MB/8

AM = 2MB

Теперь обратим внимание на треугольник AMC. Используя теорему Пифагора, можем записать:

AC² = AM² + MC²

12² = (2MB)² + MC²

144 = 4MB² + MC²

Теперь заметим, что треугольники AMB и AMC подобны, так как у них соответственные углы равны. Следовательно, мы можем записать пропорцию:

MB/AM = AM/MC

MB/2MB = 2MB/MC

1/2 = 2/МС

MC = 4MB

Теперь можем подставить это значение в уравнение, которое мы получили ранее:

144 = 4MB² + (4MB)²

144 = 4MB² + 16MB²

144 = 20MB²

MB² = 144/20

MB² = 7.2

Теперь можем найти AM² - MC²:

AM² - MC² = (2MB)² - (4MB)²

AM² - MC² = 4MB² - 16MB²

AM² - MC² = -12MB²

AM² - MC² = -12 * 7.2

AM² - MC² = -86.4

Итак, значение выражения AM² - MC² равно -86.4.