на плоскости проведено 14 прямых точек. известно, что если выбрать из этих прямых любые четыре, то среди выбранных прямых найдутся хотя бы две параллельные. какое наибольшее количество точек пересечения могут иметь между собой все проведённые прямые?

Пусть на плоскости проведено n прямых. Тогда количество точек пересечения всех прямых равно ${n \choose 2}$, так как каждая пара прямых пересекается в одной точке.

Для того, чтобы найти наибольшее количество точек пересечения, нужно найти максимальное значение ${n \choose 2}$ при условии, что при выборе любых четырех прямых найдутся хотя бы две параллельные.

Пусть среди n прямых нет параллельных. Тогда для любых четырех прямых найдутся две параллельные, что противоречит условию. Следовательно, среди n прямых есть хотя бы одна пара параллельных прямых.

Пусть среди n прямых есть k параллельных прямых. Тогда для любых четырех прямых найдутся хотя бы две параллельные, и количество точек пересечения всех прямых равно ${n \choose 2} - {k \choose 2}$.

Для максимизации ${n \choose 2} - {k \choose 2}$ нужно минимизировать ${k \choose 2}$, то есть выбрать минимальное количество параллельных прямых. Минимальное количество параллельных прямых равно 1 (так как если все прямые параллельны, то количество точек пересечения будет равно 0).

Таким образом, наибольшее количество точек пересечения, которое могут иметь между собой все проведённые прямые, равно ${n \choose 2} - {1 \choose 2} = \frac{n(n-1)}{2} - \frac{1}{2} = \frac{n^2 - n - 1}{2}$.