Известно, что уравнение x²+(p+16) x+4q=0 не имеет решений, а уравнение 4x²+qx-(p+16) =0 имеет два различных корня. Найдите наименьшее целое значение выражения p+q, если p<q.

Для уравнения x²+(p+16)x+4q=0 дискриминант должен быть меньше нуля, чтобы уравнение не имело решений. Дискриминант D = (p+16)² - 4*4q = p² + 32p + 256 - 16q

Для уравнения 4x²+qx-(p+16)=0 дискриминант должен быть больше нуля, чтобы уравнение имело два различных корня. Дискриминант D = q² + 44(p+16) = q² + 16p + 256

Так как уравнение x²+(p+16)x+4q=0 не имеет решений, то D < 0: p² + 32p + 256 - 16q < 0 p² + 32p + 256 < 16q p² + 32p + 256 < 16q

А так как уравнение 4x²+qx-(p+16)=0 имеет два различных корня, то D > 0: q² + 16p + 256 > 0

Подставим p² + 32p + 256 < 16q в q² + 16p + 256 > 0: q² + 16p + 256 > 0 q² + 16p + 256 > 0

Так как p < q, то p = q - 1: (q - 1)² + 32(q - 1) + 256 < 16q q² - 2q + 1 + 32q - 32 + 256 < 16q q² + 30q + 225 < 16q q² + 30q + 225 < 16q

Решая это неравенство, получаем q > 15. Подставляем q = 16: 16² + 3016 + 225 < 1616 256 + 480 + 225 < 256 961 < 256

Таким образом, наименьшее целое значение выражения p+q при условии p < q равно 16 + 15 = 31.