Функция f : N->N удовлетворяет следующим двум условиям для всех натуральных чисел : f(3n+1) = 3f(n)+7 и f(2n)=2f(n)+2 . Вычислите f(100) .

Для решения данной задачи, мы можем использовать метод математической индукции.

1. База индукции: Для n = 1: f(31+1) = 3f(1) + 7 f(4) = 3*f(1) + 7

Для n = 2: f(32+1) = 3f(2) + 7 f(7) = 3*f(2) + 7

Для n = 3: f(33+1) = 3f(3) + 7 f(10) = 3*f(3) + 7

2. Предположение индукции: Предположим, что утверждение верно для всех n до k, где k - натуральное число.

3. Шаг индукции: Докажем, что утверждение верно и для n = k+1.

f(3(k+1)+1) = 3f(k+1) + 7 f(3k+4) = 3f(k+1) + 7 f(3k+3+1) = 3f(k+1) + 7 3f(k) + 7 = 3f(k+1) + 7 3f(k) = 3*f(k+1) f(k) = f(k+1)

Таким образом, мы доказали, что функция f(n) является константой.

Теперь, чтобы найти значение f(100), мы можем использовать любое из уравнений: f(2n) = 2f(n) + 2 f(50) = 2f(25) + 2 f(50) = 2f(25) + 2 f(50) = 2f(25) + 2 f(50) = 2*f(25) + 2

f(25) = 2f(12) + 2 f(25) = 2f(12) + 2 f(25) = 2f(12) + 2 f(25) = 2f(12) + 2

f(12) = 2f(6) + 2 f(12) = 2f(6) + 2 f(12) = 2f(6) + 2 f(12) = 2f(6) + 2

f(6) = 2f(3) + 2 f(6) = 2f(3) + 2 f(6) = 2f(3) + 2 f(6) = 2f(3) + 2

f(3) = 2f(1) + 2 f(3) = 2f(1) + 2 f(3) = 2f(1) + 2 f(3) = 2f(1) + 2

f(1) = 2f(1) + 2 f(1) = 2f(1) + 2 f(1) = 2f(1) + 2 f(1) = 2f(1) + 2

Таким образом, мы получаем, что f(100) = f(1) = 2f(1) + 2 = 22 + 2 = 6.