Дана треугольная пирамида SKMN с вершиной S, в основании которой лежит прямоугольный треугольник, угол К – прямой. Высота пирамиды SH падает в середину ребра MN. а) Докажите, что треугольник MKS – равнобедренный. б) Найдите тангенс угла между боковой гранью MKS и плоскостью основания пирамиды, если известно, что МК = 30, NK = 16, SM = 23.

а) Поскольку высота пирамиды падает в середину ребра MN, то треугольник SMN является прямоугольным, причем MS = SN. Также, угол К прямой, поэтому треугольник MKS равнобедренный, так как MS = MK.

б) Найдем высоту пирамиды SH. Поскольку треугольник SMN прямоугольный, то по теореме Пифагора получаем: SH^2 = SM^2 - MH^2 SH^2 = 23^2 - (16/2)^2 SH^2 = 529 - 64 SH = √465

Теперь найдем тангенс угла между боковой гранью MKS и плоскостью основания пирамиды. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В данном случае противолежащий катет – SH, а прилежащий – MK. Таким образом, тангенс угла равен SH/MK = √465 / 30.

Ответ: тангенс угла между боковой гранью MKS и плоскостью основания пирамиды равен √465 / 30.