Дана окружность и с центром О. Точки М и N — соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности ш. На окружности w выбраны точки Е и Е так, что хорда EF проходит через точки М и N. Найдите отношение радиуса окружности и к длине хорды Е.F, если известно, что EF : MN = 8. В ответ запишите квадрат этого отношения.

Пусть радиус окружности равен R, а длина хорды EF равна l.

Так как MN — середина радиуса, то MN = R/2. Из условия задачи имеем EF : MN = 8, то есть l : (R/2) = 8. Отсюда получаем l = 4R.

Так как MN — середина радиуса, то треугольник MON — прямоугольный, а значит, по теореме Пифагора: (MO)^2 + (ON)^2 = (MN)^2, (R/2)^2 + (R/2)^2 = (R)^2, R^2/4 + R^2/4 = R^2, R^2/2 = R^2, R = R√2.

Теперь найдем отношение радиуса к длине хорды: R/l = R/(4R) = 1/4. Квадрат этого отношения равен (1/4)^2 = 1/16.

Ответ: 1/16.