Дана окружность и с центром О. Точки М и N соответственно середины радиусов ОА и ОВ окружности ш. На окружности и выбраны точки Е и F так, что хорда EF проходит через точки М и №. Найдите отношение радиуса окружности ш к длине хорды EF, если известно, что EF: MN = 8. В ответ запишите квадрат этого отношения.

Пусть радиус окружности ш равен r, а длина хорды EF равна l.

Так как М и N - середины радиусов ОА и ОВ, то МО = ОА/2 = r/2 и NO = ОВ/2 = r/2.

Так как EF проходит через М и N, то МО ⊥ EF и NO ⊥ EF. Значит, МО и NO - высоты треугольника ОМN, а значит, MN = 2 * МО = 2 * r/2 = r.

Таким образом, EF: MN = l: r = 8.

Отсюда l = 8r.

Так как мы ищем квадрат отношения радиуса к длине хорды, то (r/l)^2 = (r/8r)^2 = (1/8)^2 = 1/64.

Ответ: 1/64.