Задание 8) На доске нарисованы два правильных шестиугольника. Меньший из них имеет площадь 54, а наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника. Найдите площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников.

Площадь шестиугольника можно найти по формуле: S = (3√3 * a^2) / 2, где a - длина стороны шестиугольника.

Пусть a - длина стороны меньшего шестиугольника, тогда его площадь S1 = (3√3 * a^2) / 2 = 54.

Так как наименьшая диагональ большего шестиугольника совпадает с наибольшей диагональю меньшего шестиугольника, то сторона большего шестиугольника равна диагонали меньшего шестиугольника. Пусть b - длина стороны большего шестиугольника.

Тогда площадь S2 большего шестиугольника равна S2 = (3√3 * b^2) / 2.

Так как диагональ меньшего шестиугольника совпадает с стороной большего шестиугольника, то b = 2a.

Подставим это в формулу для S2: S2 = (3√3 * (2a)^2) / 2 = 12 * (3√3 * a^2) / 2 = 12 * 54 = 648.

Теперь найдем площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения этих двух шестиугольников. Площадь пересечения равна площади меньшего шестиугольника минус площадь треугольника, образованного диагональю меньшего шестиугольника и стороной большего шестиугольника.

Площадь треугольника можно найти по формуле: S = (1/2) * a * h, где a - основание треугольника (сторона меньшего шестиугольника), h - высота треугольника (расстояние от вершины треугольника до основания).

Высота треугольника равна радиусу вписанной окружности в меньший шестиугольник, то есть h = a * √3 / 2.

Тогда площадь треугольника равна S_tr = (1/2) * a * (a * √3 / 2) = a^2 * √3 / 4.

Площадь пересечения шестиугольников равна S1 - S_tr = 54 - a^2 * √3 / 4.

Так как b = 2a, то площадь фигуры, образовавшейся в результате пересечения шестиугольников, равна 648 - (54 - a^2 * √3 / 4) = 594 + a^2 * √3 / 4.