Задание 4 (25 баллов). Докажите, используя принцип математической индукции, что для любого натурального числа n ≥ 3 верно неравенство: 2 ^ n > 2n + 1

База индукции: Для n = 3, левая часть неравенства равна 2^3 = 8, а правая часть равна 2*3 + 1 = 7. Так как 8 > 7, то неравенство выполняется при n = 3.

Предположение индукции: Пусть неравенство 2^n > 2n + 1 выполняется для некоторого натурального числа k ≥ 3.

Шаг индукции: Докажем, что из предположения индукции следует, что неравенство выполняется и для числа k + 1.

Имеем: 2^k > 2k + 1

Умножим обе части неравенства на 2: 2 * 2^k > 2 * (2k + 1) 2^(k+1) > 4k + 2

Так как k ≥ 3, то 4k + 2 > 2k + 2 (так как 4k > 2k для k ≥ 3), поэтому: 2^(k+1) > 2k + 2

Но 2k + 2 = 2(k + 1), следовательно: 2^(k+1) > 2(k + 1)

Таким образом, мы показали, что если неравенство выполняется для k, то оно выполняется и для k + 1.

Итак, по принципу математической индукции мы доказали, что для любого натурального числа n ≥ 3 верно неравенство: 2 ^ n > 2n + 1.