Задание 3. Поиск тангенса. Квадраты ABCD и DEFG расположены так, как показано на рисунке. Прямые GE и AC пересекаются в точке H, а AE и CG — в точке 1. Известно, что площадь квадрата ABCDE в 9 раз больше площади квадрата DEFG. Найдите тангенс CH1

Для начала обозначим сторону квадрата ABCD как a. Тогда сторона квадрата DEFG будет равна √9a = 3a.

Так как площадь квадрата ABCD равна a^2, а площадь квадрата DEFG равна (3a)^2 = 9a^2, то получаем уравнение:

9a^2 = 9a^2

Теперь найдем площадь треугольника ACH. Поскольку треугольник ACH является подобным треугольнику AEG, то отношение площадей этих треугольников равно квадрату отношения сторон:

S(ACH) / S(AEG) = (AC^2) / (AE^2)

S(ACH) / (3a)^2 = a^2 / (4a)^2

S(ACH) = 9a^2 / 16

S(ACH) = 9a^2 / 16

Теперь найдем высоту треугольника ACH, проведенную из вершины H. Поскольку треугольник ACH прямоугольный, то высота из вершины H совпадает с катетом CH.

Тангенс угла CH1 равен отношению катета к прилежащему катету:

tg(CH1) = CH / AH

tg(CH1) = CH / (9a^2 / 16a)

tg(CH1) = 16CH / 9a

tg(CH1) = 16 * S(ACH) / 9a

tg(CH1) = 16 * (9a^2 / 16) / 9a

tg(CH1) = a / 9a

tg(CH1) = 1 / 9

Ответ: тангенс угла CH1 равен 1/9.