Задание 3 (30 баллов). Рекомендации к выполнению. Алгебраические задачи Грузы 1 и 3 связаны прочной нерастяжимой невесомой нитью, перекинутой через неподвижный блок. К грузу 1 прикреплена пружина жёсткостью 70 н/м, к концу которой прикреплён груз 2 (рис. 2). Масса груза 1 — 0,5 кг, груза 2 — 0,3 кг, груза 3 — 3 кг. Определите растяжение пружины при установившемся движении этой системы. Трением в блоке, его весом и весом пружины пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным image001.png.

Для решения данной задачи воспользуемся законом сохранения энергии.

Изначально система находится в состоянии покоя, поэтому сумма кинетической и потенциальной энергии равна нулю. После установления движения система будет иметь только потенциальную энергию.

Потенциальная энергия пружины: $P_{\text{пружины}} = \frac{1}{2}kx^2$, где $k$ - жёсткость пружины, $x$ - растяжение пружины.

Потенциальная энергия грузов: $P_{\text{грузов}} = mgh$, где $m$ - масса груза, $g$ - ускорение свободного падения, $h$ - высота, на которую подняли груз.

Так как система находится в установившемся движении, то потенциальная энергия пружины должна быть равна потенциальной энергии грузов: $\frac{1}{2}kx^2 = m_1gh_1 + m_2gh_2 + m_3gh_3$

Подставляем известные значения: $\frac{1}{2} \cdot 70 \cdot x^2 = 0.5 \cdot 9.8 \cdot h_1 + 0.3 \cdot 9.8 \cdot h_2 + 3 \cdot 9.8 \cdot h_3$

Так как грузы 1 и 3 связаны нитью, то $h_1 = h_3 = x$, а также $h_2 = 2x$, так как нить перекинута через блок. Подставляем это в уравнение: $\frac{1}{2} \cdot 70 \cdot x^2 = 0.5 \cdot 9.8 \cdot x + 0.3 \cdot 9.8 \cdot 2x + 3 \cdot 9.8 \cdot x$

Решаем уравнение и находим значение $x$, которое будет растяжением пружины при установившемся движении системы.