Задана плотность распределения вероятностей f(x) случайной величины X. f(x)=0, при x≤1 f(x0=0, при x>3 f(x)=9/(4*x^3), при 1<x f(x)=9/(4*x^3), при x≤3 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Определить вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3/2).

Для начала найдем математическое ожидание случайной величины X:

E(X) = ∫[1,3] x * f(x) dx E(X) = ∫[1,3] x * (9/(4x^3)) dx E(X) = ∫[1,3] 9/(4x^2) dx E(X) = [-9/(4x)] [1,3] E(X) = -9/(43) + 9/(4*1) E(X) = -3/4 + 9/4 E(X) = 6/4 E(X) = 3/2

Теперь найдем дисперсию случайной величины X:

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 D(X) = ∫[1,3] x^2 * f(x) dx - (3/2)^2 D(X) = ∫[1,3] x^2 * (9/(4x^3)) dx - 9/4 D(X) = ∫[1,3] 9/(4x) dx - 9/4 D(X) = [9/4 * ln(x)] [1,3] - 9/4 D(X) = 9/4 * (ln(3) - ln(1)) - 9/4 D(X) = 9/4 * ln(3) - 9/4 D(X) ≈ 1.3863

Теперь найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3/2):

P(1 < X < 3/2) = ∫[1,3/2] f(x) dx P(1 < X < 3/2) = ∫[1,3/2] 9/(4*x^3) dx P(1 < X < 3/2) = [(-3/4)x^(-2)] [1,3/2] P(1 < X < 3/2) = (-3/4)(2/3)^(-2) - (-3/4)*1^(-2) P(1 < X < 3/2) = -3/4 * 9/4 + 3/4 P(1 < X < 3/2) = -27/16 + 3/4 P(1 < X < 3/2) = -27/16 + 12/16 P(1 < X < 3/2) = -15/16

Итак, математическое ожидание случайной величины X равно 3/2, дисперсия равна примерно 1.3863, а вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3/2) равна -15/16.