Всем пациентам с подозрением на одну из тропических лихорадок делают анализ крови. Если анализ выявляет возбудителя лихорадки, то результат анализа называется положительным. У больных лихорадкой пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если лихорадки нет, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,02. Известно, что у пациентов, поступающих с подозрением на лихорадку, анализ оказывается положительным в 19,6% случаев. Найдите вероятность того, что поступивший с подозрением пациент действительно болен этой лихорадкой.

Обозначим события:

• A - пациент болен лихорадкой
• B - анализ показал положительный результат

Нам известны следующие вероятности:

• P(B|A) = 0,9 - вероятность того, что анализ положительный при наличии лихорадки
• P(B|A') = 0,02 - вероятность того, что анализ положительный при отсутствии лихорадки
• P(B) = 0,196 - вероятность того, что анализ положительный

Нам нужно найти P(A|B) - вероятность того, что пациент действительно болен лихорадкой при положительном результате анализа.

Используем формулу Байеса: P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)

P(A) - вероятность того, что пациент болен лихорадкой, можно найти по формуле полной вероятности: P(A) = P(A|B) * P(B) + P(A|B') * P(B')

P(A|B') - вероятность того, что пациент болен лихорадкой при отрицательном результате анализа, равна 0,1 (1 - 0,9).

Подставляем все значения в формулу: P(A) = P(A|B) * P(B) + 0,1 * (1 - P(B)) 0,196 = 0,9 * P(A) + 0,1 * 0,804 0,196 = 0,9 * P(A) + 0,0804 0,1156 = 0,9 * P(A) P(A) = 0,12844

Теперь можем найти P(A|B): P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B) P(A|B) = 0,9 * 0,12844 / 0,196 P(A|B) ≈ 0,587

Итак, вероятность того, что пациент действительно болен лихорадкой при положительном результате анализа, составляет примерно 58,7%.