Вокруг правильной четырёхугольной призмы описан цилиндр. Диагональ призмы равна  4 6 4 6 ​  и составляет с плоскостью основания  45 ° 45°. Найди объём цилиндра.

Для решения этой задачи нам нужно найти высоту призмы, зная диагональ и угол между диагональю и плоскостью основания.

По теореме Пифагора, диагональ призмы равна корню из суммы квадратов сторон основания: d = √(a^2 + b^2), где a и b - стороны основания призмы.

Так как призма правильная, то стороны основания равны, то есть a = b. Тогда d = √(2a^2) = a√2.

Так как d = 4√2, то a = 4.

Теперь найдем высоту призмы. Так как диагональ составляет угол 45° с плоскостью основания, то треугольник, образованный диагональю, высотой и стороной основания, является прямоугольным. Тогда высота призмы равна a, то есть h = 4.

Теперь найдем объем цилиндра, описанного вокруг призмы. Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту цилиндра: V = πr^2h, где r - радиус цилиндра, h - высота цилиндра.

Так как радиус цилиндра равен стороне основания призмы, то r = 4.

Тогда V = π4^24 = 64π.

Ответ: объем цилиндра равен 64π.