Водитель автомобиля движущегося с некоторой скоростью начинает тормозить с ускорением 2м/с², заметив впереди на расстоянии 100м метров грузовик, движущийся в том же направлении со скоростью 40 км/ч, и не имея возможности его объехать. Найдите придельно возможную начальную скорость автомобиля, при которой ещё можно избежать столкновения.

Для того чтобы избежать столкновения, необходимо чтобы автомобиль остановился до того, как догонит грузовик.

Пусть $v_0$ - начальная скорость автомобиля, $t$ - время, за которое автомобиль остановится, $s$ - расстояние, которое автомобиль проедет до остановки. Тогда уравнения движения автомобиля будут выглядеть следующим образом:

$s = v_0t + \frac{1}{2}at^2$ $0 = v_0 + at$

Подставим второе уравнение в первое и найдем $t$:

$s = v_0\left(-\frac{v_0}{a}\right) + \frac{1}{2}a\left(-\frac{v_0}{a}\right)^2$ $s = -\frac{v_0^2}{a} - \frac{v_0^2}{2a}$ $s = -\frac{3v_0^2}{2a}$

Так как $s = 100$, $a = -2$, то

$100 = -\frac{3v_0^2}{2(-2)}$ $100 = \frac{3v_0^2}{4}$ $v_0^2 = \frac{400}{3}$ $v_0 = \sqrt{\frac{400}{3}} \approx 9.24 \, \text{м/с}$

Итак, придельно возможная начальная скорость автомобиля, при которой ещё можно избежать столкновения, равна примерно 9.24 м/с.