Вершины пирамиды находятся в точках А(3, 5, 3), B(-3, 2, 8), C(-3, -2, 6), D(7, 8, -2). Вычислить: а) площадь грани ACD; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра BD и две вершины А и С пирамиды; в) объем пирамиды ABCD.

а) Для вычисления площади грани ACD воспользуемся формулой площади треугольника по координатам вершин: S = 0.5 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1)|

Где A(3, 5, 3), C(-3, -2, 6), D(7, 8, -2)

S = 0.5 * |(-3 - 3)(-2 - 5) - (7 - 3)(8 - 5)| S = 0.5 * |-6 * -7 - 4 * 3| S = 0.5 * (42 - 12) S = 0.5 * 30 S = 15

Ответ: площадь грани ACD равна 15.

б) Найдем координаты середины ребра BD: x = (7 - 3) / 2 = 2 y = (8 + 2) / 2 = 5 z = (-2 + 8) / 2 = 3

Середина ребра BD имеет координаты M(2, 5, 3).

Теперь вычислим площадь сечения, проходящего через точки A, C и M. Это будет площадь треугольника ACM.

S = 0.5 * |(x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1)| S = 0.5 * |(-3 - 3)(3 - 5) - (2 - 3)(-2 - 5)| S = 0.5 * |-6 * -2 - (-1) * 8| S = 0.5 * (12 + 8) S = 0.5 * 20 S = 10

Ответ: площадь сечения, проходящего через середину ребра BD и вершины A и C, равна 10.

в) Для вычисления объема пирамиды ABCD воспользуемся формулой объема пирамиды по координатам вершин: V = 1/6 * |det(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1, x3 - x1, y3 - y1, z3 - z1, x4 - x1, y4 - y1, z4 - z1)|

Где A(3, 5, 3), B(-3, 2, 8), C(-3, -2, 6), D(7, 8, -2)

V = 1/6 * |det(-3 - 3, 2 - 5, 8 - 3, -3 - 3, -2 - 5, 6 - 3, 7 - 3, 8 - 5, -2 - 3)| V = 1/6 * |det(-6, -3, 5, -6, -7, 3, 4, 3, -5)| V = 1/6 * |-6 * (-7 * -5 - 3 * 3) - (-3 * 3 - 5 * 4) * 5 - 5 * (3 * 4 - 5 * -6)| V = 1/6 * (42 - 15 * 5 - 5 * 42) V = 1/6 * (42 - 75 - 210) V = 1/6 * (-243) V = -243/6 V = -40.5

Ответ: объем пирамиды ABCD равен -40.5.