Вася прибавил к каждому числу от 2 до 10000 его наибольший делитель, отличный от самого числа, и вписал все получившиеся 9999 сумм на доску. Верно ли, что на доске оказалось более 9500 различных чисел?

Да, на доске оказалось более 9500 различных чисел.

Для каждого числа от 2 до 10000, наибольший делитель, отличный от самого числа, будет меньше или равен половине этого числа. Таким образом, сумма числа и его наибольшего делителя, отличного от самого числа, будет меньше, чем удвоенное число.

Таким образом, каждое число на доске будет меньше, чем удвоенное число, то есть максимальное число на доске будет меньше или равно 20000. Поскольку среди чисел от 2 до 10000 всего 9999 чисел, то на доске окажется более 9500 различных чисел.