Вася нарисовал в клетчатой тетради квадрат 7x7 со сторонами, идущими по линиям сетки. Внутри этого квадрата он хочет нарисовать другой квадрат с вершинами в узлах сетки (при этом стороны могут не быть параллельны сторонам исходного квадрата) Сколько различных вариантов площадей таких квадратов может получить Вася?

Для нахождения количества различных вариантов площадей внутренних квадратов, можно воспользоваться следующими шагами:

1. Рассмотрим все возможные варианты сторон внутреннего квадрата. Поскольку вершины внутреннего квадрата должны лежать на узлах сетки, то длина его стороны может быть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 клеток.

2. Для каждой длины стороны найдем количество вариантов, как можно разместить такой квадрат внутри исходного 7x7 квадрата. Например, для внутреннего квадрата со стороной длиной 1 клетку, его вершина может быть размещена в 6 различных позициях по каждой стороне итого 6*6=36 вариантов.

3. Посчитаем общее количество вариантов для каждой длины стороны внутреннего квадрата и сложим их.

Итак, общее количество различных вариантов площадей внутренних квадратов, которые может нарисовать Вася, равно сумме количества вариантов для каждой длины стороны внутреннего квадрата:

11: 66 = 36 вариантов 22: 55 = 25 вариантов 33: 44 = 16 вариантов 44: 33 = 9 вариантов 55: 22 = 4 варианта 66: 11 = 1 вариант

Итого, общее количество различных вариантов площадей внутренних квадратов, которые может нарисовать Вася, равно 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 91.