Ваня выбрал на плоскости 17 точек общего положения, то есть таких, что никакие три из этих точек не лежат на одной прямой, и покрасил две точки в красный цвет, а остальные в зелёный. Через каждые две одноцветные точки он провёл прямую: соответственно, одну красную, остальные прямых может пересечь красная прямая?

Да, красная прямая обязательно пересечет какую-то из остальных прямых.

Для доказательства этого рассмотрим сначала случай, когда все точки зеленые. Тогда через каждые две зеленые точки проводится прямая, и все эти прямые пересекаются в одной общей точке.

Теперь добавим красные точки. Если красная точка соединена с зеленой, то она лежит на прямой, соединяющей две зеленые точки. Если красная точка соединена с другой красной точкой, то она лежит на прямой, соединяющей две красные точки. В обоих случаях красная прямая пересекает другие прямые, проведенные через зеленые точки.

Таким образом, красная прямая обязательно пересечет какую-то из остальных прямых.