В векторном пространстве R3 даны два геометрических вектора: a⃗ =⎧⎩⎨⎪⎪2−1−1⎫⎭⎬⎪⎪ и b⃗ =⎧⎩⎨⎪⎪1−2−2⎫⎭⎬⎪⎪ Найдите векторы x⃗ и y⃗ , удовлетворяющие условиям: x⃗ ||a⃗ ; y⃗ ⊥b⃗ ; x⃗ +y⃗ =b⃗ .

Для начала найдем вектор x⃗ , параллельный вектору a⃗ . Это значит, что вектор x⃗ должен быть коллинеарен вектору a⃗ , то есть параллелен ему и имеет длину, равную произведению длины вектора a⃗ на некоторый коэффициент k:

x⃗ = ka⃗ = k⎧⎩⎨⎪⎪2−1−1⎫⎭⎬⎪⎪ = ⎧⎩⎨⎪⎪2k−k−k⎫⎭⎬⎪⎪

Теперь найдем вектор y⃗ , перпендикулярный вектору b⃗ . Для этого вектор y⃗ должен быть ортогонален вектору b⃗ , то есть их скалярное произведение должно быть равно нулю:

y⃗ *b⃗ = 0

Так как y⃗ и b⃗ перпендикулярны, это условие выполнено автоматически.

Наконец, учитывая условие x⃗ +y⃗ =b⃗ , можем записать:

x⃗ +y⃗ = ⎧⎩⎨⎪⎪2k−k−k⎫⎭⎬⎪⎪ + y⃗ = ⎧⎩⎨⎪⎪1−2−2⎫⎭⎬⎪⎪

Следовательно, система уравнений для нахождения векторов x⃗ и y⃗ имеет вид:

2k + y₁ = 1 -k + y₂ = -2 -k + y₃ = -2

Решив данную систему уравнений, мы найдем значения k, y₁, y₂, y₃, а затем подставим их в выражения для x⃗ и y⃗ .