В углу двора дома решили сделать навес в виде четырёхугольной пирамиды, в основании которой лежит квадрат. Навес может быть сделан так: в основании металлическая рама квадратной формы и в одной из вершин квадрата установлен металлический столбик перпендикулярно плоскости основания. Затем натягивается тканевый тент, который соединяет вершину вертикального столбика и две не смежные с ним стороны основания. Найдите площадь тента, если плоскости тента наклонены к плоскости основания пирамиды под углом в 30°, а длина вертикального столба равна 2,5.

Площадь тента можно найти как сумму площадей треугольника и трапеции.

1. Найдем площадь треугольника, образованного вертикальным столбиком и двумя сторонами основания пирамиды. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны равны сторонам квадрата в основании пирамиды. Угол между этими сторонами равен 30°. Площадь такого треугольника можно найти по формуле: S = 0.5 * a * b * sin(30°), где a и b - длины сторон квадрата в основании пирамиды. Подставляем a = b = 2,5 и находим S1 = 0.5 * 2.5 * 2.5 * sin(30°) ≈ 1.44.

2. Найдем площадь трапеции, образованной тремя сторонами тента. Для этого найдем длины этих сторон. Одна из сторон равна длине стороны квадрата в основании пирамиды, то есть 2,5. Две другие стороны образованы вертикальным столбиком и наклоненными сторонами квадрата. Длина вертикального столбика равна 2,5. Найдем длину наклоненных сторон: l = 2.5 / sin(30°) ≈ 5. Длина вертикального столбика равна высоте пирамиды, поэтому площадь трапеции можно найти по формуле: S2 = 0.5 * (a + b) * h, где a и b - длины оснований трапеции, h - высота трапеции. Подставляем a = b = 2.5, h = 5 и находим S2 = 0.5 * (2.5 + 2.5) * 5 = 12.5.

Итак, площадь тента равна сумме площадей треугольника и трапеции: S = S1 + S2 ≈ 1.44 + 12.5 ≈ 13.94. Таким образом, площадь тента составляет примерно 13.94 квадратных метра.