В треугольнике со сторонами 6, 7, 8, через центр вписанной окружности проведена прямая, параллельная стороне длины 6. Эта прямая пересекает две другие стороны треугольника в точках A и B. Найдите длину отрезка AB, представьте длину в виде несократимой дроби mn, и запишите в ответ число m+n.

Для начала найдем радиус вписанной окружности. По формуле радиуса вписанной окружности в треугольнике:

r = S / p,

где S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где a, b, c - стороны треугольника.

Для треугольника со сторонами 6, 7, 8, полупериметр p = (6 + 7 + 8) / 2 = 10.5.

S = sqrt(10.5 * (10.5 - 6) * (10.5 - 7) * (10.5 - 8)) = sqrt(10.5 * 4.5 * 3.5 * 2.5) = sqrt(330.75) ≈ 18.19.

r = 18.19 / 10.5 ≈ 1.73.

Теперь найдем высоты треугольника из вершин A и B, опущенные на стороны 7 и 8 соответственно. По формуле для высоты треугольника:

h = 2S / a,

где a - сторона треугольника, через которую проведена высота.

Для высоты из вершины A:

h_A = 2 * 18.19 / 7 ≈ 5.20.

Для высоты из вершины B:

h_B = 2 * 18.19 / 8 ≈ 4.55.

Теперь можем найти длину отрезка AB:

AB = h_A + h_B = 5.20 + 4.55 = 9.75.

Ответ: 9 + 75 = 84.