В треугольнике АВС проведены биссектриса AL и медиана АМ. Найдите длину отрезка LM, если АВ = 4, ВС = 5, АС = 6.

Для начала найдем длину отрезка AM, который является медианой треугольника.

По формуле для медианы в треугольнике AM = 0.5 * √(2 * AB^2 + 2 * AC^2 - BC^2) = 0.5 * √(2 * 4^2 + 2 * 6^2 - 5^2) = 0.5 * √(32 + 72 - 25) = 0.5 * √(79) = √79 / 2.

Теперь найдем длину отрезка AL, который является биссектрисой треугольника. По формуле для биссектрисы в треугольнике AL = √(AB * AC * (BC + AB + AC) * (BC + AB - AC)) / (AB + AC).

AL = √(4 * 6 * (5 + 4 + 6) * (5 + 4 - 6)) / (4 + 6) = √(1440) / 10 = 12√10 / 10 = 6√10 / 5.

Теперь найдем длину отрезка LM. Так как AL является биссектрисой, то угол LAM делит угол BAC пополам. Таким образом, треугольник ALM является прямоугольным. Поэтому LM = √(AM^2 - AL^2) = √((√79 / 2)^2 - (6√10 / 5)^2) = √(79 / 4 - 36 * 10 / 25) = √(79 / 4 - 360 / 25) = √(79 / 4 - 360 / 25) = √(395 - 288) / 20 = √107 / 20.

Итак, длина отрезка LM равна √107 / 20.