В треугольнике АВС проведена высота АК. Н — точка пересечения высот треугольника. Даны косинусы двух его углов: 3 cos <CAB = 5, COS <ABC = 20 ~ . Для 29 вашего удобства мы посчитали косинус 24 третьего угла cos LBC A = 145 • Найдите AH HK•

Для начала найдем третий угол треугольника ABC, зная косинусы двух углов:

cos(∠C) = cos(180° - ∠A - ∠B) = -cos(∠A + ∠B) = -cos∠A * cos∠B + sin∠A * sin∠B cos(∠C) = -5 * 20 + sqrt(1 - 5^2) * sqrt(1 - 20^2) = -100 + sqrt(24) * sqrt(399) = -100 + 24 * 19.9749843554 ≈ -100 + 479.399624532 ≈ 379.399624532

cos(∠C) ≈ 379.399624532

Теперь найдем высоту треугольника AH:

cos(∠C) = AH / AC AH = AC * cos(∠C) AH = AK / sin(∠A) * cos(∠C) AH = AK * cos(∠C) / sin(∠A) AH = AK * cos(∠C) / sqrt(1 - cos^2(∠A)) AH = AK * cos(∠C) / sqrt(1 - 25/100) AH = AK * cos(∠C) / sqrt(75/100) AH = AK * cos(∠C) / sqrt(3/4) AH = AK * cos(∠C) / sqrt(3) * 2 / 2 AH = AK * 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / 2 AH = AK * 2 * cos(∠C) / sqrt(3)

Теперь найдем отношение AH к HK:

AH / HK = AK * 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / HK AH / HK = AK * 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / (AC - AK) AH / HK = AK * 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / (AK / sin(∠A)) AH / HK = 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / sin(∠A) AH / HK = 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / sqrt(1 - cos^2(∠A)) AH / HK = 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / sqrt(1 - 25/100) AH / HK = 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / sqrt(75/100) AH / HK = 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / sqrt(3/4) AH / HK = 2 * cos(∠C) / sqrt(3) / sqrt(3) * 2 / 2 AH / HK = 2 * cos(∠C) / 3

Таким образом, AH / HK = 2 * cos(∠C) / 3 ≈ 2 * 379.399624532 / 3 ≈ 252.933083022

Ответ: AH / HK ≈ 252.933083022.