В треугольнике АВС проведена высота АК. Н — точка пересечения высот треугольника. Даны косинусы двух его углов: cos угла CAB = 4/5, cos угла ABC = 8/17. Для вашего удобства мы посчитали косинус третьего угла, cos угла BCA = 13/85. Найдите AH/HK.

Для начала найдем синусы углов треугольника ABC, воспользовавшись тем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам:

sin CAB = √(1 - cos^2 CAB) = √(1 - (4/5)^2) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5 sin ABC = √(1 - cos^2 ABC) = √(1 - (8/17)^2) = √(1 - 64/289) = √(225/289) = 15/17 sin BCA = √(1 - cos^2 BCA) = √(1 - (13/85)^2) = √(1 - 169/7225) = √(7056/7225) = 84/85

Теперь найдем высоту треугольника АК, проходящую через вершину А:

AH = AC * sin CAB = AC * 3/5

Также найдем высоту треугольника BK, проходящую через вершину В:

BK = BC * sin ABC = BC * 15/17

Теперь найдем отношение AH/HK:

AH/HK = AH/(AC - BK) = (AC * 3/5) / (AC - BC * 15/17) = (3/5) / (1 - 15/17) = (3/5) / (2/17) = (3/5) * (17/2) = 51/10

Итак, AH/HK = 51/10.