В треугольнике АВС проведена высота AK. H-точка пересечения высот треугольника. Даны косинусы двух его углов: cos CAB=4/5, cos ABC=7/25. Для вашего удобства мы посчитали косинус третьего угла cos BCA=44/125. Найдите AH/HK

Для начала найдем синусы углов треугольника ABC, воспользовавшись тем, что синус угла равен квадратному корню из единицы минус квадрат косинуса этого угла:

sin CAB = sqrt(1 - cos^2 CAB) = sqrt(1 - (4/5)^2) = sqrt(1 - 16/25) = sqrt(9/25) = 3/5 sin ABC = sqrt(1 - cos^2 ABC) = sqrt(1 - (7/25)^2) = sqrt(1 - 49/625) = sqrt(576/625) = 24/25 sin BCA = sqrt(1 - cos^2 BCA) = sqrt(1 - (44/125)^2) = sqrt(1 - 1936/15625) = sqrt(13689/15625) = 117/125

Теперь найдем длины отрезков AH и HK. Для этого воспользуемся тем, что отношение длины высоты к стороне треугольника равно синусу угла противоположного этой стороне:

AH/BC = sin BCA = 117/125 HK/AC = sin CAB = 3/5

Так как BC = AC, то AH = 117/125 * BC = 117/125 * AC и HK = 3/5 * AC

Теперь найдем отношение AH к HK:

AH/HK = (117/125 * AC) / (3/5 * AC) = (117/125) / (3/5) = (117/125) * (5/3) = 39/25

Итак, AH/HK = 39/25.