В треугольнике АВС проведена высота АК. Н — точка пересечения высот треугольника. Даны косинусы двух его углов: cos угла CAB = 4/5, cos угла ABC= 7/25. Для вашего удобства мы посчитали косинус третьего угла cos угла BCA = 44/125. Найдите AH/HK.

Для начала найдем синусы углов треугольника ABC, воспользовавшись тем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам:

sin CAB = √(1 - cos^2 CAB) = √(1 - (4/5)^2) = √(1 - 16/25) = √(9/25) = 3/5 sin ABC = √(1 - cos^2 ABC) = √(1 - (7/25)^2) = √(1 - 49/625) = √(576/625) = 24/25 sin BCA = √(1 - cos^2 BCA) = √(1 - (44/125)^2) = √(1 - 1936/15625) = √(13689/15625) = 117/125

Теперь найдем длины отрезков AH и HK. Для этого воспользуемся формулой для площади треугольника через синус угла:

S = 1/2 * AB * AC * sin CAB S = 1/2 * AH * BC * sin CAB AH = 2S / BC * sin CAB

S = 1/2 * AC * BC * sin ABC S = 1/2 * HK * BC * sin ABC HK = 2S / BC * sin ABC

Теперь найдем площадь треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой для площади через две стороны и угол между ними:

S = 1/2 * AB * AC * sin CAB S = 1/2 * AB * BC * sin ABC S = 1/2 * BC * AC * sin BCA BC = 2S / AC * sin BCA

Теперь можем найти отношение AH/HK:

AH/HK = (2S / BC * sin CAB) / (2S / BC * sin ABC) AH/HK = sin ABC / sin CAB AH/HK = (24/25) / (3/5) AH/HK = 24/15 AH/HK = 8/5

Итак, AH/HK = 8/5.