в треугольнике АБС проведена высота АК. Н—точка пересечения высот теугольника. даны косинусы его углов: cos CAB=4/5, cos АБС=8/17 cos БСА=13/85. найдите АН/НК

Для начала найдем длины сторон треугольника ABC с помощью косинусов углов.

По теореме косинусов: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBCcosCAB BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABACcosABC AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2ACBC*cosACB

Подставляем данные: AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2ABBC4/5 BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2ABAC8/17 AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2ACBC*13/85

Подставляем второе уравнение в первое и третье уравнение: AC^2 = AB^2 + (AB^2 + AC^2 - 2ABAC8/17) - 2ABABAC4/5 AB^2 = (AB^2 + AC^2 - 2ABAC8/17) + AB^2 - 2*(AB^2 + AC^2 - 2ACBC*13/85)AC13/85

Решаем систему уравнений и находим стороны треугольника: AB = 5, AC = 8, BC = 17

Теперь найдем площадь треугольника ABC: S = 1/2 * AB * AC = 1/2 * 5 * 8 = 20

Так как H — точка пересечения высот треугольника, то площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABH, ACH и BCH: S = 1/2 * AB * AH + 1/2 * AC * AH + 1/2 * BC * CH

Подставляем известные значения: 20 = 1/2 * 5 * AH + 1/2 * 8 * AH + 1/2 * 17 * CH 20 = 4.5 * AH + 8.5 * CH

Так как AH/CH = 5/8 (высоты треугольника делятся друг на друга в соотношении сторон, на которые они опущены), то AH = 5/13 * CH и CH = 8/13 * AH

Подставляем в уравнение: 20 = 4.5 * AH + 8.5 * 8/13 * AH 20 = 4.5 * AH + 5.23 * AH 20 = 9.73 * AH AH = 20 / 9.73 AH = 2.06

Теперь найдем NK: AH/NK = CH/NK = 8/5 NK = CH * 5/8 = 2.06 * 5/8 = 1.29

Ответ: АН/НК = 2.06/1.29 = 1.6