В треугольнике ABC проведена высота AK. H - точка пересечения высот треугольника. Даны косинусы двух его углов: cos∠CAB=4:5, cos∠ABC=5:13. Косинус третьего угла cos∠BCA=16:65. Найдите AH:HK.

Для начала найдем углы треугольника ABC. Используем формулу косинусов:

cos∠CAB = (BC^2 + AC^2 - AB^2) / (2BCAC) = 4/5 cos∠ABC = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2ABBC) = 5/13 cos∠BCA = (AC^2 + AB^2 - BC^2) / (2ACAB) = 16/65

Теперь найдем стороны треугольника ABC. Для этого воспользуемся формулой косинусов:

BC^2 = AH^2 + HK^2 AC^2 = AH^2 + (HK + KH)^2 AB^2 = (AH + HK)^2 + KH^2

Таким образом, у нас есть система уравнений, которую можно решить для нахождения сторон треугольника ABC. После этого найдем отношение AH:HK.