В треугольнике ABC на стороне BC взяты две точки D и E, причём расстояние от точки B до точки D меньше расстояния точки D до точки C. Расстояние от точки C

до точки E меньше расстояния от точки E до точки B. Докажите, что угол BAC больше 90 градусов.

Пусть BD < DC и CE < EB. Рассмотрим отрезки AD и AE. Так как BD < DC, то точка D лежит между точками B и C, следовательно, AD < AC. Аналогично, так как CE < EB, то точка E лежит между точками B и C, следовательно, AE < AC.

Теперь рассмотрим треугольник ADE. По неравенству треугольника AD + DE > AE получаем, что AC > AE. Таким образом, получаем, что AC > AE > AC, что невозможно. Следовательно, предположение о том, что угол BAC меньше или равен 90 градусов, неверно. Таким образом, угол BAC больше 90 градусов.