В прямоугольном треугольнике с острым углом а катеты равны 5 cos а и sin a. Найдите квадрат меньшего катета. Ответ выразите в виде несократимой обыкновенной дроби.

Пусть меньший катет равен x. Тогда больший катет равен 5cos(a), а гипотенуза равна 5sin(a).

Из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника:

x^2 + (5cos(a))^2 = (5sin(a))^2

x^2 + 25cos^2(a) = 25sin^2(a)

x^2 + 25(1 - sin^2(a)) = 25sin^2(a)

x^2 + 25 - 25sin^2(a) = 25sin^2(a)

x^2 = 25sin^2(a) - 25 + 25sin^2(a)

x^2 = 50sin^2(a) - 25

x^2 = 50sin(a)cos(a) - 25

x^2 = 25sin(2a) - 25

x^2 = 25(sin(2a) - 1)

Так как sin(2a) = 2sin(a)cos(a), то:

x^2 = 25(2sin(a)cos(a) - 1)

x^2 = 50sin(a)cos(a) - 25

x^2 = 25cos(2a) - 25

Таким образом, квадрат меньшего катета равен 25cos(2a) - 25.

Ответ: 25cos(2a) - 25.