В прямоугольнике ABCD, точка К середина стороны CD, AB = 8, BC = 9. Диагонали АС и BD пересекаются в точке О, отрезки АС и ВК пересекаются в точке Е, отрезки ВД и АК пересекаются в точке F. а) Докажите, что прямые EF и CD параллельны. 6) Найдите площадь треугольника BFK. Запишите ответ на вопрос пункта «б».

а) Для начала заметим, что треугольники AOC и BOD подобны (по двум углам), так как у них соответственные углы равны (угол AOC = угол BOD, угол OAC = угол OBD).

Таким образом, отношение сторон в этих треугольниках равно отношению сторон прямоугольника ABCD: AO/BO = AC/BD = 8/9.

Теперь рассмотрим треугольники AKE и BKF. Мы знаем, что отношение сторон в подобных треугольниках равно отношению сторон прямоугольника ABCD: AK/BK = AE/BF = 8/9.

Из этого следует, что треугольники AKE и BKF также подобны.

Так как у этих треугольников соответственные углы равны, то у них соответственные стороны параллельны. Следовательно, EF || CD.

б) Площадь треугольника BFK равна половине площади параллелограмма, образованного векторами BF и BK.

Площадь параллелограмма равна произведению длин векторов на синус угла между ними. Так как BF и BK - это диагонали прямоугольника ABCD, и угол между ними равен 90 градусов, то синус этого угла равен 1.

Площадь параллелограмма равна |BF| * |BK| = 9 * 4 = 36.

Следовательно, площадь треугольника BFK равна 36 / 2 = 18.

Ответ: 18.