В прямоугольный треугольник АВС со сторонами АС = 40, ВС = 9 вписана полуокружность так, как показано на рисунке. Центр полуокружности лежит на стороне AC, полуокружность касается сторон АВ и ВС.

Чтобы найти радиус полуокружности, обозначим его через r. Так как полуокружность касается сторон АВ и ВС, то отрезки, проведенные от точки касания до точек касания с соответствующими сторонами, будут перпендикулярны этим сторонам.

Пусть точка касания с стороной АВ обозначается как D, а точка касания с стороной ВС обозначается как Е. Тогда треугольники ACD и ADE будут подобными, так как у них соответственные углы равны (прямые углы) и у них равны соответствующие катеты (r).

Из подобия треугольников получаем:

AC/AD = AD/AE 40/(40-r) = (40-r)/9 40*9 = 40^2 - 40r 360 = 1600 - 40r 40r = 1240 r = 31

Итак, радиус полуокружности равен 31.