В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 5, найдите косинус угла между прямыми B1M и C1N, где M и N – соответственно середины ребер AB и BC.

Для начала найдем длину стороны треугольника ABC. Так как все ребра призмы равны 5, то сторона треугольника ABC равна 5.

Теперь найдем длину отрезков BM и CN. Так как M и N - середины сторон AB и BC соответственно, то BM = CN = 5/2 = 2.5.

Теперь найдем длины отрезков B1M и C1N. Так как B1M и C1N - высоты треугольника ABC1, то B1M = C1N = 5*√3/2.

Теперь найдем скалярное произведение векторов B1M и C1N:

B1M * C1N = |B1M| * |C1N| * cos(угол между B1M и C1N) = (5*√3/2)^2 = 75/4.

Теперь найдем длины векторов B1M и C1N:

|B1M| = 5*√3/2, |C1N| = 5*√3/2.

Теперь найдем косинус угла между B1M и C1N:

cos(угол между B1M и C1N) = (B1M * C1N) / (|B1M| * |C1N|) = (75/4) / ((5*√3/2) * (5*√3/2)) = 3/5.

Итак, косинус угла между прямыми B1M и C1N равен 3/5.